u千么青年教学叢書
    高次方程解法
    (施篤姆法)
    沙法列維奇著
    09
    3
    中田老手去临北

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    内容提꽃
    三大以及更高火的方程式，在学上的应用很寶。
    它們不像二火方程式那样有求解公式，要时它們的性顶，往往涉及到比校高深的敗学理治、这本小册却探用了希有嵌式的代效除法和栽何圆形，只运用一股的代女和哉何見群，來進行时論。它介紹了高次方程式的某些重要性質，但並沒有涉及到威根。所以额者只更具备一发的代敷和是何知搬，就可以利地藏。

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    目·次
    前言…
    1
    根的界限
    2
    二多項式的公根和等根…
    6
    三“多項式对”的特徵敏…8
    四多項式位於a和b之間的根的个数…17

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    前
    言
    在中学的代敷教程裹鲁嚮引出了一次方程的求解公式，而从物理教程中使可以看到，这个公式对於很多物理問題（例如和勻加速运動有關的問題等)的解决是何等需要了.
    可是三次以及更高的方程在數学和它的应用中所起的作用並不头於二炙方程、人們差不多像研究二次方程一样，很早就開始研究高次方程了。大家知道，在巴此倫的楔形表裹就有解某些三方程的。虽然对这个問题已經研究了这样久，但是關於高次方程的基本性質，直到十九世紀才被發現.这本小册子就是來概括的談一畿膈於高炙方程的某些基本性霞.
    我們討論高次方程性質所探用的方法，跟中学代數教程襄用來討論二次方程性質的方法是完全不同的。二次方程的
    一切性筲，差不多都可以由它們的求解公式中推出來，現在我們却並不引出高实方程的求解公式，只是由某些一般的代敷和幾何的見解去得出高实方程的性質來
    問題就在，对於大多敷的高次方程並不存在像次方程那样的公式。而且鲫使在某些情况有这样的公式，这公式也非常複雜，不可能从心推出方程的任何性質來。而且除此以外，我們的方法还县有一个优點：它可以使得那些要被証明的事头的真正理由顯得格外清楚。
    〔1)

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    高次方程保法
    在这本小册子裹引出的所有討論，是对於任何次方程都適合的.它們往往都微远成一般形式.在某些情形，如果討論到一般情祝原即上虽完全相同而計算却嫌冗長的話，那未我們就蕉用三头方程來討論，並且只敍远一下在一般情祝所得的結果。很希望讀者独立地把所有討論引到一般情祝中去，
    最後，我們完全略去和下面相類似的問題的証明：多項式
    的周形若在”軸的雨侧郡有黠，那未它必和X轴相交。大概
    有些讀者会威到並不需要去証明類以的命题。誰要是希望作出这些配明，蒂考任何一本数学分析教程的前幾章，就可以知道速績函数的最簡單性質，这样就很容易証明上面說的那个命題了.
    在这本小册子襄，我們只研究方程的实根的性質，因此，讀者並不需要有複數性質的知識。但是，我們要指出，方程的模根的性質也可以用同样的方法推出來，不过要路微複難“些罢了，
    根的界限
    我們要提出的第一个問题，便是：对於每一个方程要去確定它的各个根分佈在那一个界限爽面。
    假設我們的方程是三次的，並且具有
    ax+bx2+cg+d=0
    (1
    的形式
    我們現在來指出，如何求出这样的正数N,假使贴的絕对
    值超过了N,方程的左边就不再等於露.这時侯，根就-一定位

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    根的界
    3
    於一N和W之間。为此，我們骰法來逃擇这样的W,假使x
    的絕对值大於W,挪末首項的絶对值使超过其餘三項的和的
    絕对值，这時候，首項使不可能被其他邪些項的和所抵消，因而整个式子也就不会等於零了.
    知果首項的絶对值的三分之一大於其餘三項中每一項的釉对值，也就是
    예>，岬>
    号a>.
    那末，便顥然可以達到我們的目的，解这些不等式，得到
    ，两>3哥，网>8西ai
    岛，√3因，3圆中较大的一个作为x,取三个數36，，
    a
    我們使得到了具有我們所需要的性質的敷。事实上，当大
    於N時，所有三个不等式祁是成立的；因此，方程(1)的左边
    便不会变为睿.
    对於n次方程
    1G十bag-1+c-2+…十kg十1=0，
    (2)
    我們只需要取下刘諸救
    .....VR-
    中最大的-一个作为V,就行了
    意，我們已經証明的此上面原來要証明的还稍稍多一

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    高次方程解法
    些.因为方程(1)左边首項的絶对值大於其餘各項的和的絶对值，所以，整个式子的符号要由首項的符号來决定.这样-·
    來，我們不僅知道方程(1)的左池当：的絶对值超过W時是
    一一个不等於零的數，而.且还可以指明这个敷的符号是和首項的符号相同的.
    从这些簡單的推想，我們已經能够引出關於方程的根的重要結果.为此需要用到函數
    y=ag+b2”-1+…+k十l
    (3)
    的调形.。假股在平面上选好了座标軸，並且描出函敷(3)的周形（圖1）.根据作圖的一般法則，圆形上M點的樅座标u就等於在式
    (3)中以横座标v代替x得出來的挪个數.特别是，背横座标是方程(2)的根時，樅座标使变为零.这就是說，方程的根在幾何上可以用函數
    圆形和X軸的交表示出水.
    阅1.
    假設我們的方程是三次的。我們用首項的係數，來除'心的二端，而把它离戒
    x3+px2+q+r=0
    (4)
    的形式.
    我們來看，所求得的具有前面所說性笺的敷N的幾！
    义。方程(4)所有的根位於一Y和N之間，这就表明函数
    y=23+2R2+q+Y
    (5)
    的圖形，只有在它們的横座标x位於一N和N之間的點处，

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    多.項式的公根和等根
    可能和X轴相交.可是函數的周形是否-一定和軸相交呢
    回蘭一下前面所說，果的絶对值大於W,那未函數(5)的
    符号和它的首項的符号相同.可是我們已經知道，首項的符号是和：的符号一致的，因此，如果大於，那末多頂式是
    正的，这就表示：这部分圖形位於X軸的上方。如果：小於
    一，那末多項式是負的，也就是这部分圖形位於X轴的下
    方。这样一來，我們便道了圖形的大致形狀如周2。由周可以清楚地看到，函數的圆形至少应該和”轴相交一灰，也就是說、三次方程至少有一个根。对於高次方程，也有類似的情形：奇次方程至少有
    一个根。顯然，对於偶次方程，这
    调2.
    个定理並不成立，像我們已經指出的二头方程就可能根本沒有根日.
    二多項式的公根和等根
    我們下面要用到的一个基本的代數方法，便是带有餘式的多頂式除法。如果有雨个多項式和g,我們就可以用其中次敷較低的一个多項式去除（用一般的“長除法”）另一个多項式，而得到商的秘式部分q和餘式五，餘式的次敷已怒比涂式低了。这可以葛成公式
    C起住：我网这襄所詨的根穗是指北根，因此，例如方程+1=0，从北捫
    的覌站來看，便准有根。

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    6
    高炙方程蝌法
    f=g-g+h
    (6)
    的形式。带有餘式的除法一一这是一般的方法，所以把“多項式对”∫和g的研究轉变成具有較低次數的“多项式对”g和h的酐究。正是由於这种情形，常常使得“多項式对”的性質有可能比一个多項式的性質容易研究些。
    例知，我們來若慮如何去求两个多項式∫和g的公根。如果d是多頂式f以及多項式g的根，那未在關係式(6)中合心=a,我們便得到等於雾，也就是它具有根α.这样，多項式于和g公根也就是多項式g和五的公根。反之，仍然由關係式(6)，我們可以看出：如果α是多項式g和h的公根，琳末它就也是的根，郎多項式∫和g的公根。貔之，这雨个断言表明，多項式f和g的公根，必定是g和h的公根，反过來說也对、在这襄，它的用处便在於多頊式g和的东數此f和g要低。对於g和，我們可以重複这种討論，用除ξ而带有餘式，用这种方法，我們便可以得到次敷越來越低的“多項式对”，而且所有这些“多項式对”的公根和原來“多項式对”的公根相同，我們有必要水静-一講，作給出的“多項式对”u和)之中，有一个，例如是零的情形。但是在这种情形，多項式u的所有的根都是u和)的公根，因)怀等于雾，故狂何數都可作为它的根
    这样-一來，求多項式∫和的公根的問题就变为去求一般說來次數是很低的多項式u的根的間题了.
    我們來看-一个例题.武求多頂式+2+3x+1和x3+
    十2的公根。

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    多道式的公根和等根
    7
    我們用第个多項式去除第一个多頊式而帶餘式：
    24+x2+3x+1！3+龙+24+22+2
    x十王
    餘式是十1。因此，原來那“多項式对”和多項式3+：十2及十1、有相同的公根。
    再用第二个除第-一个而帶有餘式：
    x3++2
    {+1
    23+2
    82-十2
    -2+8+2
    一22-8
    2+2
    2+2
    0
    餘式是0。因此，多项式+1及0也具有相同的公根，也就是槿有的一个公根一1.
    我們現在应用目前所得結果來解决另一个問題：確定一个給定的多項式的一些根襄面有沒有等根。並且求出这些等根來。我們仍然打算就三灰多項式（⑤）來討豁。設这个多項式有一个根a,那末它便可以被心一a除尽。这可由貝塞定理6推得，但是我捫現在用簡單的除法來驗証这个事实：
    3+p2+g化十
    一a
    x3-da.22
    x2+(p+a)x+(a2+po+9}
    (p+a)2+g+r
    (p+a)x2-a(9+a)x
    (a2+a十夏)+Y
    (a2+pa+9)x-a(a2+p+g)
    a3+pa2+ga+r
    ©月您定理即峰式定理，一磊者註

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    8
    高灰力程解法
    酴式ax3+a2+a+"第於露，因为我們原來假定a是方程(4)的根。我們順便得到这个除法的商是
    x2+(p+a)+(a2+pa+q)
    (7)
    如果方程(4)还有一个根等於a,那术它就应該是多項式(T)的根。在(7)中用ax代替.x,我們便得3a2+2px+q=0.於是，我們証明了多項式(5)的等根就是这个多項式和多項式32+2px+g的公根。後面这个多項式啡做多項式(5)的導來多項式、这样一來，問題就变成去求多項式和它的蕖來多項式的公根了。而这个問題我們已經能够解決。
    对於%多項式(2)，完全類似的定理也是成立的。在这夏，多項式nax-1十(%一1)bxn-2+(究-2)cxn-8+…+k起着多項式3如+2px十g的作用。而这个多項式也被称为多項式(2)的薄來多項式.
    三“多項式对'的特徵敷
    現在轉到我們的主題上來。它可以这样來敍述：設給定
    一个多項式f和雨个數a,b,並且a<b;栗想知道多項式∫有多少个根介於a和b之間，也就是有多少个根小於b而大於a。後面我們会看到，由於这个問題的解决，就可以推引出許多捌於多項式根的問題的答案，例如：根的个數，根的分佈，甚至於它們的計算方法等等。
    在解決这个問題時，我們将同前衡一样來者手，也就是首先考察‘多項式对”的性質。在这裹我們还是运用我們已經遇見过的雨种方法：代數的方法一帶有餘式的除法，和幾何的

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    “多筑式对”的特歡叛
    方法一作周。
    殺給定了雨个多項式，这襄它們所給定的順序对我們來說也是重要的、用1表示第一个多頂式，f表示第二个多項式。再假散f1和∫：沒有公根，因为它們的公根我們可以按前節的方法找出而約去。作出多項式手1和：的圈形（我們把∫：的鬧形画成实線，而把的圆形画成虚線；如圆3)。
    问3.
    它們将把整个平面分成三个部分：第一是位於兩个搁形下面的部分：第二是位於兩个周形上面的部分；第三是位於两个圆形之間的部分，第三个部牙便是我們今後要注意的部分。我們在僩上特别把这都分加上陰影，而
    称它为陰影域.在X軸_上作横座标等
    於a和b的雨點，並且記作A和B.我
    們將點A沿X軸向點B移助.这時
    碳，我們便和多項式∫：和∫：的倜形在表示它們的根的琳此點处通过。在这些通过的新襄面，在某些點处我們將
    4

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    10
    高方程解法
    从陰影域中出來，而在另一一些點处却是進人陰影域裹。我們把第一种點称为“出點，把第二种點称为“人點”。必須指出：
    一點不可能既是入點父是出點（像圆4上的C點那样），因为
    这样的點表示了多項式f1和∫的公根，而我們原來假定公根是不存在的。
    現在我們來引進一一个新的概念.
    屡於多項式∫：的周形並.且位於A、B兩點間出點的个數
    和入點的个數的法，叫做多項式∫1、2的特徽敦，
    ,例知，周3上的黏)和召是圈於1的周形的出點，而
    C、F和G是同-一周形上的入點。在这种情形下，特徵數等於
    2一3=一1.特徵数是一个整數，用記号（∫1，∫）來表示它.当然，它除了跟多項式f1和f有關係以外，还银限制着多項
    式周形的考慮範鬨的點A利和B有關係
    十分明题，多項式∫1和：的特徽敷和我們取定哪个多項式作第-一式也是有關係的，因为当計算特徵數時我們只注意到第一个多項式圆形上的出點和入點。所以还需要把下面这一點來說明一下：如果我們取定的第一个多項式不是∫1而是∫，这時候特徽數将引起怎样的改变，或者换句話說，就是(f,∫：)和（于，f1)雨數之間有怎样的關係.
    我們用下面的实物情祝來設想一下，是有好处的。比如有-一間房間，一个人可以走進去，也可以从它裹面走出來。我
    們用P來表示在給定的時間内人从房間裹走出來的次敷，而
    用Q來表示人走進去的次數。顯然，因为除了最後一次以外
    在每一一次進去之後都跟着要出來，而在每一次出來之後眼着

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    、“多项式对”的特徵敢
    11
    要進去，所以進去的究數和出來的次數在任何一边相差都不可能大於上.我們可以把它禽成：
    P=Q+8.6=0,1,或-1。
    (8)
    e的更精催的數值可由下表雅定：
    1-一假設開始時这个人在裹面，而移了時他是在外面.
    一1一假胺開始特他在外面，而终了時在襄面，
    0一假散開始和終了時他同是在襄面或同是在外面(周5).
    ,e=0
    1.Bx0
    1 e=-1
    亚e1
    圆5.
    現在我們把問題想得更復雜-一些：房間裹有雨扇門一I和
    II,而分别計算通过每一扇門的進去和出來的次数、我們用
    P1和Q1分别表示通过門I的出來和進去的次數，通过門I1
    的是用P和Q來表示。類然，通过雨扇門的進去和出來的
    穗敷是满足關係式(8)的，也就是
    P1+P2=1+a+e
    从而我們便得到：
    P1-Q1=-(Pg-2a)+e,
    这就表明了，通过門I的出來次數和進去次数的差跟通过門
    II的出來次数和進去次數的差相互間的簡單联系。·
    顯然，这和我們的多項式很有關係。房間好比医影域，門

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    12
    高灰方程解法
    I好此多項式f1的圆形，門I好比∫2的阁形，出來和進去好比出點和入點，P1一Q1不是别的，正是特徵數（寸1，f),
    P一：正是特徵數(f,f1).我們便得到嗣係式
    (j1,fe)=-(fg,f1)+e,
    而利下來的只須說明在我們的情形下ε是什麽意义。
    我們開始是在陰影域（房間）裹襄面还是在它外面，依賴於多項式f1和∫在=a塒的值是同号还是異号、完全-一样，我們最後是在陰影域襄面还是外面，依賴於∫1和于：在：=b脖的值是同号还是異号。我們規定，如果一个“數对”是同号的，使說它們之間沒有变号，如果一个“敷对”是異号的，便說它們之間有一个变号、用a1和ag表示∫1和天在x=a恃的值，b,bg表示它們在一b時的值。这样便容易驗証，e將等於數对c1,a的变号敷和敷对b1,b的变号敷之間的差。若用1表第一数，而用%1表第二數，那末6=%1一%1
    直到現在为止，我們还沒有方法去求雨个多項式的特徵數，因为要想利用特徵數的定义，必須知道它們的根。現在我們就可以引出这样的方法了。帶有餘式的除法正好在这裹發生效力。我们用∫來除f1而帶有餘式：
    f1=fq+f8(fg是餘式)，
    (9)
    並且我們提出一个問題：特徽數（∫1，f)和(f,f)是怎样联系着的。問題的这样提出，路示我們应用上一節的結果，在那裹我們已解看到多項式对∫：，f的公根和多项式对∫，：的公根相同。首先我們有：
    (f1,fg)=-(j2,f1)+e.
    (10)

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    “多項式对”的特徵数
    13
    剩下來的，是要比較(f3,f1)和(f,f)。我們來証明这兩个數相等。为此我們注意：知果α是多頊式f的根，那末在=α時多項式f1和f3的值相等（圆6）.这我們只要在(9)中把x换成“，注意这時候含有f的一項是零，便可以証明这一點、由此推得，在横座标=α的附近多項式∫1和∫3的圆形位於多項式f周形的同一側（周6）.从而Y便簡單地推得了特徽数(f2,f1)和(f2,f3)是相等的。事实上，当計算雨个特徵數時，我們应当挑选多項
    2
    式f2在A,B之間的根，並且考察它們之中哪些是入點哪些是出钻。但是由刚才所証關脚於多項式f1,于？和了3周形的分怖，便知道，u果根α在由多項式∫和f1的圆形所構成
    6
    的陰影域中是入點，那末它在由于a和∫8的圆形所構成的域中也同样表示成入點。对於出點的特祝，同样成立。
    这样，特徵數(f,1)和(f,8)相等被証明了.代入(10),这就給出關係式
    (f1,）=-(f,fa)+e.
    (11)
    因为多項式f和f比多項式f1和f:的次數要低，所以这就使我們得到了一个計算“多項式对”的特徵數的-一般方法.
    原則上，我們的問題一学会計算“多項式对”的特徵數是解决了，但是还可以使所得的結果具有更完善的形式、为此，我們設法去掉公式(11)中的負号。最簡單的是，不取用fa

==========第16页==========
    1
    高八灰万程解法
    除∫1的餘式作为f,而把这个餘式改号取作·这時餘式使是一f3,而(9)將呈下列形式：
    ∫1=jM-f,
    而公式(11)養得更簡單的形式
    (j1,fg)=(f4,∫8)+e.
    (12)
    要想驗証这一點，我們只須証明：如果把第二个多項式故号，那未“多項式对”的特徵數也政号。但是从圆上看，这是十
    分明顯的，因为第二个多項式的圖形这時换成了它關於X轴
    的对称曲線，这样一來，第一个多項式的所有是出點的根就变成入點，反过來也成立题然，特徽數也改变了符号，
    在我們用于：除∫1、並且把餘式改号而用∫8來表示它以後，耳对于？和∫：作同样的处理，並且当我們沒有得到餘式等於署诗，一直懋績下去。这样所得的多項式列f1,2,f,…∫（不为霁）称为多項式f1和的施怎姆列.，施篤姆刘的最後一个多項式∫%不可能有根，因为多項式f1,∫，…∫我們在前節關於雍定∫1和2的公根時所作的那些多項式只相差一个符号；如果∫有根，那末它便是f1和∫的公根，而我們假定了它們是沒有公根的。·对於施篇姆列中每一相鞋的“多項式对”窝出公式(12)，我們便得-一整串的公式：
    (f1,fa)=(f8,fs)+e1。(f,f8)兰(f3,f)+
    (f-g,了6-1)=(f-1,fk）十e-9(f-1,f)=f,0)+a-1

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    “多州式对”的特微数
    15
    这裹數，…，-1具有以前的意义，郎它們中的任一个，例如ei是多項式f:在x=a,=b時的值的变号数和多項式f+1在=a,c=b時的值的变号數之間的差。
    現在我們注意，因为∫沒有根，所以它和任何多項式的特徵数都等於0，特别是(，0)=0，这样，我們可以把末了一个公式改寫成：（寸-1，于）一-1·从倒數第二个公式，我們定得(Uk-9,f-1)是等於ek-十-1.
    以後同样來進行，最後，我們便得
    (1,f)=十+…十e%-1
    (13)
    这个公式还可以簡化。我們用a1,g…,.表示多項式f1,∫2…，fk在x=時的值，而用b,bg,…,b:來表示=b時的值。若在“數对”a:和a+1处的变号數是ms,而在“數对”b,和b:+1处的变号數是：，那末
    =mi一n
    因此公式(13)可以改寫成：
    (f1,∫)=(n1-）+(mg-见g)+…+(me-1-见g-1),或者
    (j1,f2)=(m1+my++mk-1）-(n1+见g+…+%k-1)。數m1十…十m%-1表示出数列a1,ag,…,az中相娜雨數間所含的变号德數。數九1千…十-)同样表示出b1,·,b%中相鄰雨數間所含的变号總数。这些數称为数列a1,…,ak和b1,…,b。中的变号数。
    現在我們可以把我們最後所得的結果敍述成这样：“多項式对”的特徵数等於在施篇姆列中的多項式在x=a和=b

==========第18页==========
    16
    高卖方程票法
    的值的变号数之間的差，
    我們用一个例子來桔束这冗長的一箭.確定多项式1一x8-8a2+19c-12和fa=x3-922+27g-26的特叙数；其中假没α=0，b=5找出施篤舞列。用f2除f1而带餘式：
    g8-82+192c-12」x8-9c2+27c-26x3-92+27G-26
    1
    x28g+14
    餘式是x2一8然+14，因此∫=一x2+8a一14，用f除j,而带餘式：
    c3-92x2+27c-26一2+8-14x8-822+14x
    花十1
    一2+13心-26
    ー2+8-14
    5-12
    餘式是5x一12，因此∫4=一-5x+12.用f4除f3而帶餘式：
    -2+8心-14
    |-5x+12
    +품
    28
    5
    2
    6g一14
    6化-12.282
    5
    2814
    一14+125=一2元
    除式是一著，因此f。=荟
    顧然，下一个餘式已是弄了、这样一來，施篤姆列就由多頂式x8-82+19x-12,x8-92+27心-26，-x2+8-14,
    5 +12,중租成
    施篇姆列多項式的值碓定在下表中：

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    多項式位於a和b之间的根的个救
    17
    G=0
    x=5
    f
    -12
    8
    fa
    ~26
    9
    fs
    -14
    1
    fu
    12
    -13
    fs
    14
    14
    5
    25
    这样一水，第一直行恰好含有数列a1,…ak,而第二直行是數列b1,…b·在第-一直行中有一个变号，它發生在列中一14和12处，在第二直行中有二个变号，它們發生在刻中1和一13，一18和芳处.特徵數等於1-2=一1.
    四多項式位於a和b之聞
    的根的个數
    我們現在求指明知何从“多項式对”的特敏数去求出一个多頂式的根。“多項式对”∫1和f的特徵數等於多項式f1在a和b之間的那些根中出點个数和入點个數之差。如果我們善於这样來选擇多項式于，使得多項式∫1的所有的根都是出點，就是說沒有个是入點，那末“多頂式对”f1和f的特徵數便完全和多項式f1在a和b之間的根的个數一致.我們來看-一下如何去选挥这样的多項式∫·这時必須假散多項式f1沒有等根。散α：是多項式f1的一个根。我們应骸怎样來安置多項式∫的圆形，使得表示根α的點是出點？这可能有雨种情祝，要看多項式f1的图形当=⑧時是从底

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    18
    本灰方程解法
    下向上升呢还是从上面向下降。像图7和圆8表示的那样，在第-一种情形，多項式∫的形在=a時应該位於X轴的
    上方，而在第二种情形应骸位於X轴的下方.换句話說，在第
    一种情形，当：=α時多項式的值应該是正的，而在第二种情形应骸是負的。現在我们求看，怎样会看出雨种情形中哪一
    7。
    置8，
    种成立。第一种情形歸結为，当小於x時多項式1是負的，而当大於：時它是正的。而在第二种情形恰恰相反.
    再假設，我們討输的是有根x的三次多項式∫1=3十px2
    十q十，並且回憶到还是在第二節复我們就已經証明了的，用（一x)去除这样的多頂式所得的商等於x2+(十a)w十(a2+pa+g):
    x+px2+gx+r=(4-a)[x+(p+a)x+(a2+pa+9)].我們利用这个分解式，水雅定当比α箱微小一點或稍微大一一點時，多項武1所取的那些值的符号怎样。从第一个因式很顥然：若如小於那末它是負的，而在x大於α：時它是正的。我們，过來討論第二个因式.当￠=：時它不等於等。其实，我們在第二饰襄已解見到，这便表示多項式f具

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    多项式位於a和b之間的根的个数
    18
    有雨个等根，而我們却是假設它沒有等根的.第二个因式当x一：的值恰好等於多須式f1的薄來多項式在g=時的值。如果这是一个正数，那末当x和a相差不大時（也就是，若比这个二次三項式的任何根都更接近α時)，第二个因式是正的，而这便表示整个乘積本身所取的值的符号同第一个因式所取的值的符号一样。换句話說，我們这裹有了第一种情形、反之，若薄來多項式的值是負的，那末整个符号都变成相反的符号，我們就有了第二种情形，
    我們已解碓定了，我們所熟知的薄來多項式在这襄起着决定性的作用，也就是說，如果蕖來多項式当然=α時的值是正的，便具有第一种情形，如果它是負的、便有第二种情形。同样对於任何次多項式都成立、
    但是由此，我們立刻便可以看到，这样的多項式∫：恰好是薄來多項式，我网应当如何去求出它。换句話說，如果取∫1的尊來多項式作为∫2，那末特徵數(f1,∫)将等於多項式于1位於和b之間的根的个数。因为我們在前節中已經引出了計算特徵數的方法，所以我們有方法求出任何多項式位於a和b之間根的个數、
    我們把所得的開於求多項式根的个數的法則微述如下：要想求多項式位於a和b之間的根的个数，必须求出這个多項式和它的導來多項式的施篇姆列，並且計年這列多項式分别在x=&和如=b時的随。在第一列數的变号数剂第二列数的变号敦之間的差，便是所求的根的个数。
    这个法则是法國敷学家施篇姆的一个著名的定理.这个

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    20
    高次方程解法
    定理是他在1829年証明的、·
    有趣的是，我們在解泱我們的問题一求多項式位於a和b之間的根的个數上所用的推理方法，和我們在第二節中解决另一个問题—一求多須式的等根時所用的推理方法，有很多共同點。在雨种情形中都是先來醉究某些“多項式对”的性質-一第一种情形是關於公根的問題，第二种情形是開於特徽數的求法。由於在雨种情形中都一样，“多頂式对”的性質比一个多項式的性質容易丫解一对雨个多項式可应用帶有餘式的除法，因此，解決我們所注意的關於雨个已知多項式的调題就变成去解决另雨个次数較低的多項式的同一閻题。以後，我們在雨种情形下对於我們已知的多項式f1都选擇这样一个辅助多項式于（在雨种情形中，可以把了1的莲來多項式作为这样的多項式)，使我丽所解决的脚於“多項式对”的問題应用到“多項式对”∫1，f9上來，便得到了我們所注意的船於多項式f1的周期的解答。
    現在我們指出，怎样应用施篤姆定理來解泱一系列關於任何次多項式根的間題.
    首先，我們來確定所給多項式的、所有的、而不僅是位於④，b之間的根的个敏問题。我們把施篇姆定理和我們在第
    一節中所得到的结果联系起來，便立刘可以得到这問題的解。
    在那裹，我們官經指出过怎样去求这样一个數N,使得多項式
    所有的根都位於一N和之間。由此推知，如果我們应用施
    篤姆定理來確定多項式位於一N和N(取a=一N,b=Y)之間的根的个敏，那末我們就得到它的所有根的个數、这样，問

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    多项式位於a和b之間的根的个数
    21
    題就解決了，
    然而，这个解答还可以表示成更精緻的形式、殿对於多項式f1和它的蕖來多項式f的施篤姆则是由多項式f1f,…,f所組成。
    对於这列中的每一个多項式f,根据第一節存在这样一个數N:,使得f:的根位於一N:与N:之間。現在我們把大於所有數N:的任一个數取作N.这時，所有多項式f:的根便
    都位於一N和N之間了、如果我例現在应用施篤姆定理，取
    a=一N和b=Y,那末我們当然得到我們的多項式的所有根的个數。题然，当計算施篤姆列中多項式在=a和x=b处的值的变号數時，我們並不需要計算这些值本身、。
    事实上，我們本來只注重符号，而我們在第一節中已怒証
    明了，任何一个多項式对於小於一N面大於N的，它所取
    的邢些值的符号和它首項的符号相同、我們就是这样选擇N
    的，使得它大於所有的N:,面这也就是一N小於所有VN、这
    样一來，施篤姆则的多項式在x=N和x=一N時的值，由它們第一项的符号來决定。我們指出这样-一件有趣的事实，虽
    然我們在討論中已經利用了數N的存在，我們在每一种具体
    情形下並不需要去計算它，因为施篤姆测的每一个多項式的首項具有形式4x而它当c=一N和：=N時的符号完全是
    跟N的大小無關的。
    例：武求多頂式f1=3+3一1所有的根的个數.薄來多頂式是3x2+3=fg·找出施箫舞列。用∫除f1而带有餘式：

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    22
    高欢方盘解法
    3+3x-1{3x2+3
    x3十%
    2x-1
    3
    餘式是2c一1，因此∫a=一2x十1.用f除f2而帶有餘式：
    3x2+3
    し-2x+1
    3x2-量女
    3
    3
    2x+3
    炉
    4
    33
    餘式是3，因此j4=-3,顯然，下一个多项式已怒是春了。这样一來，施篤姆列就由多項式8+3-1,32+3，
    -2x+1和-3号粗成。
    如果我們現在取數N(有限的正數)像我們已經指出过的
    那样，那末这些多頂式在x=一N和=N時的值的符号將跟它們的首項的符号相同。这些符号我們列表如下：
    2C =-N
    x-N
    i
    f红
    十
    fu
    fs
    在第一直行中有二个变号，在第二直行中有一个变号。这样一來，多項式x3+3+1有2一1=1个根.
    現在我們可以轉到關於計算多項式的根的問題上來了，

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    多哨式位於4和b之間的根的个效
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    我們所循定的目标是要計算多項式的根到任意的精碓度、服格說來，虽然在二次方程的情形，根的公式給出根的精碓值而並不是近似值，但是却不能合人满意。事实上，如果我們說多項式x一心的根等於√a,这样我們也只是指出，如果应用不方根的近似計算法即，那未得到多項式的根的近似值而具有任意的精雅度。
    为了多項式的根的近似計算，首先我們必須（和碓定根的个數恃的情祝不同)着实地按照第一節的法划來計算这样的
    数N,使得我們的多項式的所有的根都位於一N和N之間.
    此後，我們把一W和N間的區間分为幾部分，比如說分为二等
    分，而按照施箫姆定理我們便得到在它們每一牛中，即在一N
    和0之間以及0和N之間所含有的根的个数。如果在这些隔
    間的每一部分都含有根，那末我們可依同法处理。我們这样
    做下去，直到把从一N到N的區間分成適当小的都分，使得
    我們能够知道，在这些小部分中的哪一些中含有根，而在另一些中不含有根。这時候，就不再鞋續分下去。但是这就是說，我們可以計算根到任何精碓度，因为知果我們知道了根位於数a和B之間，此方說，a和B間的差小於0.001，邪末a就
    是根的精雅到0.001的弱近似值，而B就是强近似值。为了
    計算方便起見，我們常常不把區閻分成雨等分而分成十等分。当我們得到这样的一些小隔間，使得在它們的每一个中或者有多項式的一个根或者一个根也沒有時，那末在随後計算的時候我們就不需要利用施簫姆定理和計算施箫姆多項式
    列的值了。事实上，假設我們已知：和B之間恰好只有多項

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    24
    高大方程辨法
    式的一个根。散我們用数Y把a,B間的區間分成雨部分，並
    且要知道这雨部分中的哪一部分，：和Y之間还是Y和B之間
    有根.这時候，只須計算多項式在=α和在：=B時的值.如
    果它們異号，那末就像在圆9中所看到的那样，在然=a和x=Y時多項式的圆形位求X軸的雨侧，因此，就应該在α和
    Y之間的某处与X轴相交。这也就是表示，根位於和Y之
    間、反之，若多項式在g=α和在G=Y時的值同号，那未根
    就不可能位於和Y之間。事实上，这時如果多項式的阅形
    在α和y之間的某处通过X軸从一側到另一側，那未它一定要在a和Y之間的另-一处回轉过來，因为在x=α和x一Y時
    它是位於X轴的同倒的（置10）。但是这就是說，多項式在
    侧9.
    周10，
    和Y之間至少应骸有雨个根，而这却是不可能的，因为我們原
    來假設&和B之間只有-一个根。这便表示，根不可能在α和
    Y之間，而应該在Y和B之間。
    例：計算多項式x3+3心一1的根，精碓到0.1、在前面的例題中我們巴已經看到，这个多項式只有唯一的一个根，就是說，我們可以应用刚才講到的挪种一般方法。首先我們來計
    算N.按照第一節襄提到的法則，我們必須把三个敷

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    多闻式位於心和b之间的根的个数
    25
    0,√33和/3
    中的最大的一个取作Y。这个最大数顱然是√33=3，即
    N=3。这样看來，所求的根是位於一3和3之間。
    現在我們求考察根的符号。为了这个目的，我們來求出多項武在您=0和：=8時的值。算得结果是一1和35。因为这雨个數異号，所以根就位於0和3之間，因此根是正的。現在我們來求出多項式在，=1和x=2時的值，得到的是3和13。这样看來，在x=1,2和3的時候多頂式的值都同号，而在然=0和一1時的值是異号的.这就是說，根位於0和1之間，郎然=0…。为了求出第一位小數，需要知道在
    十个小隔聞（在0和高之間，品和品，…，品和1之間）中哪一部分有根。为此，我們首先合x=品=士·我們便得到多項式的值是8。因为一1和異号，所以根便在0和受之間.现在个=音得到的值等於品+品-1=器-品：这是一9
    27.
    个負戴，因此表明根在品和之聞，因为多項式在分一品和3
    =品時翼号.剩下来我們命=盖：得到的值是最+吕64
    642
    一1=0+着.因为这是一个正数，所以根便位於0和盖之聞.我們的問題得到解决了.我們已怒求得了多項式8+3一1精雅到0.1的根是0.3。

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